Question

【題目】設三次函數f（x）=ax3+bx2+cx+1的導函數為f（x）=3ax（x-2），若函數y=f（x）共有三個不同的零點，則a的取值范圍是（　　）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據導數的公式求出a，b，c的關系以及函數的解析式，求函數的極值，根據極值和零點的關系進行求解即可．

∵f(x)=ax3+bx2+cx+1的導函數為f′(x)=3ax2+2bx+c=3ax(x-2)=3ax2-6ax，

∴2b=-6a,c=0,即b=-3a,c=0,則f(x)=ax3-3ax2+1,

①若a＞0,則由f′(x)=3ax(x-2)＞0得x＞2或x＜0,

由f′(x)＜0得0＜x＜2,則函數在x=0時取得極大值f(0)=1,

在x=2時,函數取得極小值f(2)=8a-12a+1=1-4a,

若函數y=f(x)共有三個不同的零點,則f(2)=1-4a＜0,解得a＞.

②若a＜0,則由f′(x)=3ax(x-2)＜0得x＞2或x＜0,

由f′(x)＞0得0＜x＜2,則函數在x=0時取得極小值f(0)=1,

在x=2時,函數取得極大值f(2)=8a-12a+1=1-4a，

則此時函數y=f（x）只有1個零點,不滿足條件.

綜上a＞.

故選:C.