Question

5．矩陣的一種運算$（{\begin{array}{l}a&b\\ c&d\end{array}}）（{\begin{array}{l}x\\ y\end{array}}）=（{\begin{array}{l}{ax+by}\\{cx+dy}\end{array}}）$，該運算的幾何意義為平面上的點（x，y）在矩陣$（{\begin{array}{l}a&b\\ c&d\end{array}}）$的作用下變換成點（ax+by，cx+dy），若曲線x²+4xy+2y²=1在矩陣$（{\begin{array}{l}1&a\\ b&1\end{array}}）$的作用下變換成曲線x²-2y²=1，則ab=0．

Answer 1

分析 設（x，y）是曲線x²+4xy+2y²=1的點，在矩陣 $（{\begin{array}{l}a&b\\ c&d\end{array}}）$的作用下的點為（x′，y′），得出關于a，b的方程組，從而解決問題．

解答 解：設（x，y）是曲線x²+4xy+2y²=1的點，在矩陣 $[\begin{array}{l}{1}&{a}\\{b}&{1}\end{array}]$的作用下的點為（x′，y′），
即$\left\{\begin{array}{l}{x′=x+ay}\\{y′=bx+y}\end{array}\right.$，又x′²-2y′²=1，
∴（x+ay）²-2（bx+y）²=1，（1-2b²）x²+（2a-4b）xy+（a²-2）y²=1．
故 $\left\{\begin{array}{l}{1-2b=1}\\{2a-4b=4}\\{{a}^{2}-2=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=0}\end{array}\right.$，
∴ab=0．
故答案為：0．

點評 本題主要考查幾種特殊的矩陣變換、曲線與方程等基礎知識，考查運算求解能力，解答的關鍵是利用待定系數法求解a，b；屬于基礎題．