Question

在數列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=ca_n+cⁿ⁺¹（2n+1）（n∈N*），其中實數c≠0．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）若對一切k∈N*有a_2k＞a_zk-1，求c的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據a₁，a₂和a₃猜測a_n=（n²-1）cⁿ+c^n-1，進而用數學歸納法證明．
（2）把（1）中求得的a_n代入a_2k＞a_zk-1，整理得（4k²-1）c²-（4k²-4k-1）c-1＞0，分別表示c_k和又c_k'，根據c_k＜＜1求得c≥1，再根據c_k'＜0，判斷出單調遞增知c_k'≥c₁'求得＜-，最后綜合答案可得．
解答：解：（1）由a₁=1，a₂=ca₁+c²3=（2²-1）c²+c
a₃=ca₂+c³•5=（3²-1）c³+c²，
猜測a_n=（n²-1）cⁿ+c^n-1，
下面用數學歸納法證明，
當n=1是，等式成立
假設當n=k，等式成立即a_k=（k²-1）c^k+c^k-1，
則當n=k+1時a_k+1=ca_k+c^k+1（2k+1）=（k²+2k）c^k+1+c^k=[（k+1）²-1]c^k+1+c^k，
綜上a_n=（n²-1）cⁿ+c^n-1，對任意n∈N都成立．
（2）由a_2k＞a_zk-1得
[（2k）²-1]c^2k+c^2k-1＞[（2k-1）²-1]c^2k-1+c^2k-2，
因c^2k-2＞0，所以（4k²-1）c²-（4k²-4k-1）c-1＞0
解此不等式得c＞c_k，或c＜c_k'，其中
c_k=
c_k'=
易知c_k=1
又由＜=4k²+1，知
c_k＜＜1
因此由c＞c_k對一切k∈N成立得c≥1
又c_k'=＜0，可知
單調遞增，故c_k'≥c₁'對一切k∈N^*成立，因此由c＜c_k'對一切k∈N^*成立得c＜-
從而c的取值范圍是（-∞，-）∪[1，+∞]
點評：本題主要考查了數列的遞推式．考查了學生綜合運用所學知識和實際的運算能力．