Question

 [2012·湖北卷] 某個實心零部件的形狀是如圖1－7所示的幾何體，其下部是底面均是正方形，側面是全等的等腰梯形的四棱臺A₁B₁C₁D₁－ABCD，上部是一個底面與四棱臺的上底面重合，側面是全等的矩形的四棱柱ABCD－A₂B₂C₂D₂.

圖1－7

(1)證明：直線B₁D₁⊥平面ACC₂A₂；

(2)現需要對該零部件表面進行防腐處理．已知AB＝10，A₁B₁＝20，AA₂＝30，AA₁＝13(單位：cm)，每平方厘米的加工處理費為0.20元，需加工處理費多少元？

Answer 1

解：(1)因為四棱柱ABCD－A₂B₂C₂D₂的側面是全等的矩形，

所以AA₂⊥AB，AA₂⊥AD，又因為AB∩AD＝A，所以AA₂⊥平面ABCD.

連接BD，因為BD⊂平面ABCD，所以AA₂⊥BD.

因為底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD.

根據棱臺的定義可知，BD與B₁D₁共面．

又已知平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，且平面BB₁D₁D∩平面ABCD＝BD，

平面BB₁D₁D∩平面A₁B₁C₁D₁＝B₁D₁，所以B₁D₁∥BD.于是

由AA₂⊥BD，AC⊥BD，B₁D₁∥BD，可得AA₂⊥B₁D₁，AC⊥B₁D₁，

又因為AA₂∩AC＝A，所以B₁D₁⊥平面ACC₂A₂.

(2)因為四棱柱ABCD－A₂B₂C₂D₂的底面是正方形，側面是全等的矩形，所以S₁＝S_{四棱柱上底面}＋S_{四棱柱側面}＝(A₂B₂)²＋4AB·AA₂＝10²＋4×10×30＝1 300(cm²)．

又因為四棱臺A₁B₁C₁D₁－ABCD的上、下底面均是正方形，側面是全等的等腰梯形．

所以S₂＝S_{四棱臺下底面}＋S_{四棱臺側面}

＝(A₁B₁)²＋4×(AB＋A₁B₁)h_{等腰梯形的高}

＝20²＋4×(10＋20)

＝1 120(cm²)．

于是該實心零部件的表面積為S＝S₁＋S₂＝1 300＋1 120＝2 420(cm²)，

故所需加工處理費為0.2S＝0.2×2 420＝484(元)．