Question

已知函數y=f（x）=

ax2+1

bx+c

（a，b，c∈R，a＞0，b＞0）是奇函數，當x＞0時，f（x）有最小值2，其中b∈N，且f（1）＜

5

2

（1）試求函數f（x）的解析式；
（2）問函數f（x）圖象上是否存在關于點（1，0）對稱的兩點，若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據函數為奇函數即f（-x）=-f（x）求得c=0，進而把函數解析式整理成

a

b

x+

1

bx

的形式，根據均值不等式求得函數f（x）的最小值的表達式為a和b的關系，進而根據f（1）＜

5

2

求得b的范圍，最后求得b的值，則a的值可得．進而求得函數f（x）的解析式．
（2）假設存在一點（x₀，y₀）在y=f（x）的圖象上，并且關于（1，0）的對稱點（2-x₀，-y₀）也在y=f（x）圖象上，則可得x₀與y₀兩個關系式進而求出得到．

解答：解：（1）∵f（x）是奇函數，
∴f（-x）=-f（x），即

ax2+1

bx+c

=-

ax2+1

-bx+c

⇒bx+c=bx-c，
∴c=0．
∵a＞0，b＞0，
∴當x＞0時，有f（x）=

ax2+1

bx

=

a

b

x+

1

bx

≥2

a b2

，
當且僅當x=

1 a

時等號成立，于是2

a b2

=2，∴a=b²，
由f（1）＜

5

2

得

a+1

b

＜

5

2

即

b2+1

b

＜

5

2

，
∴2b²-5b+2＜0，解得

1

2

＜b＜2，又b∈N，
∴b=1，∴a=1，∴f（x）=x+

1

x

．
（2）假設存在一點（x₀，y₀）在y=f（x）的圖象上，并且關于（1，0）的對稱點（2-x₀，-y₀）也在y=f（x）圖象上，
則

x02+1 x0 =y0 (2-x0)2+1 2-x0 =-y0

，
所以消去y₀得x₀²-2x₀-1=0，解得x₀=1±

2

．
∴y=f（x）圖象上存在兩點（1+

2

，2

2

），（1-

2

，-2

2

）關于（1，0）對稱．

點評：本題主要考查了函數的奇偶性的應用，均值不等式的應用及函數的對稱性．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．