(本小題滿分12分)已知數列各項均不為0,其前
項和為
,且對任意
都有
(
為大于1的常數),記
.
(1) 求;
(2) 試比較與
的大小(
);
(3) 求證:
(1)(2)由(1)可得
,結合整體思想來得到比較大小
(3)由(2)知 ,
,(
).結合放縮法來得到證明。
解析試題分析:解:(1) ∵,① ∴
.②
②-①,得,即
. (3分) 在①中令
,
可得.∴
是首項為
,公比為
的等比數列,
. (4分)
(2) 由(1)可得.
.
∴, (5分)
.而
,且
,
∴,
.∴
,(
).(8分)
(3) 由(2)知 ,
,(
).
∴當時,
.
∴,(10分)(當且僅當
時取等號).
另一方面,當,
時,
.
∵,∴
.
∴,(當且僅當
時取等號).(13分)
∴.(當且僅當
時取等號).
綜上所述,,(
).(14分)
考點:數列的綜合運用
點評:考查了數列的通項公式與前n項和關系的運用,以及能結合已知給定的不等式來放縮法得到證明。
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