Question

設命題p：實數x滿足x²-4ax+3a²＜0，a∈R；命題q：實數x滿足x²-x-6≤0，或x²+2x-8＞0，
（1）求命題p，q的解集；
（2）若a＜0且¬p是¬q的必要不充分條件，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）把命題P中的不等式左邊分解因式后，分a大于0，小于0，等于0三種情況討論即可求出不等式的解集記作集合A，分別把命題q中的兩個不等式的解集求出后，求出兩個解集的并集得到q的解集記作集合B；
（2）根據a＜0且¬p是¬q的必要不充分條件得到a＜0且p是q的充分不必要條件即A是B的子集，根據包含關系得到關于a的不等式，求出解集即可得到a的范圍．
解答：解：（1）由命題p得：（x-3a）（x-a）＜0，
則①當a＞0時，a＜x＜3a；②當a＜0時，3a＜x＜a；③當a=0時，x∈ϕ
由命題q得：{x|q}={x|x²-x-6≤0或x²+2x-8＞0}={x|x²-x-6≤0}∪{x|x²+2x-8＞0}
={x|-2≤x≤3}∪{x|x＜-4或x＞2}={x|x＜-4或x≥-2}．
（2）由¬p是¬q的必要不充分條件，
∴p是q的充分不必要條件，設A=（3a，a），B=（-∞，-4）∪[-2，+∞）
∴A⊆B，∴a≤-4或3a≥-2，
又∵a＜0，
∴a≤-4或-≤a＜0．
點評：本題以必要條件為平臺考查一元二次不等式的解法，考查分類討論的思想，是中檔題．