Question

設命題p：實數x滿足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，命題q：實數x滿足

x2-x-6≤0 x2+2x-8＞0

．
（Ⅰ）若a=1，且p∧q為真，求實數x的取值范圍；
（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）p∧q為真，即p和q均為真，分別解出p和q中的不等式，求交集即可；
（2）﹁p是﹁q的充分不必要條件?q是p的充分不必要條件，即q?p，反之不成立．
即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集．

解答：解：（1）a=1時，命題p：x²-4x+3＜0?1＜x＜3
命題q：

x2-x-6≤0 x2+2x-8＞0

?

-2≤x≤3 x＜-4或x＞2

?2＜x≤3，
p∧q為真，即p和q均為真，故實數x的取值范圍是2＜x＜3
（2）﹁p是﹁q的充分不必要條件?q是p的充分不必要條件，即q?p，反之不成立．
即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集．
由（1）知命題q：2＜x≤3，
命題p：實數x滿足x²-4ax+3a²＜0?（x-a）（x-3a）＜0
由題意a＞0，所以命題p：a＜x＜3a，
所以

a≤2 3a＞3

，所以1＜a≤2

點評：本題考查復合命題的真假、充要條件的判斷、解二次不等式等知識，考查知識點較多，但難度不大．