Question

設復數z=cosθ+isinθ（0＜θ＜π），，并且，，求θ．

Answer 1

【答案】分析：化簡ω，利用，求出θ的三角函數值，再用，來驗證ω，從而求出θ的值．
解答：解法一===tg2θ（sin4θ+icos4θ）．，．
因0＜θ＜π，故有
（ⅰ）當時，得或，這時都有，
得，適合題意．
（ⅱ）當時，得或，這時都有，
得，不適合題意，舍去．
綜合（ⅰ）、（ⅱ）知或．
解法二z⁴=cos4θ+isin4θ．
記φ=4θ，得．．==．∵，，
①②③
∴
當①成立時，②恒成立，所以θ應滿足
（ⅰ），或（ⅱ），
解（ⅰ）得或．（ⅱ）無解．
綜合（ⅰ）、（ⅱ）或．
點評：本題考查復數的基本概念和運算，三角函數式的恒等變形及綜合解題能力；注意分類討論思想的應用，難度較大．