Question

3．已知橢圓C：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的上、下焦點分別為F₁，F₂，上焦點F₁到直線 4x+3y+12=0的距離為3，橢圓C的離心率e=$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程
（Ⅱ）設過橢圓C的上頂點A的直線l與橢圓交于點B（B不在y軸上），垂直于l的直線與l交于點M，與x軸交于點H，若$\overrightarrow{{F_1}B}•\overrightarrow{{F_1}H}$=0，且|${\overrightarrow{MO}}$|=|${\overrightarrow{MA}}$|，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用點到直線的距離公式，即可求得c，利用橢圓的離心率，即可求得a的值，則b²=a²-c²，即可求得橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設直線方程，代入橢圓方程，求得B點坐標，根據向量數量積的坐標運算，求得H點坐標，利用兩點之間的距離公式求得y_M=1，聯立MH及直線方程，即可求得直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）由已知橢圓方程為C：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，焦點在y軸上，
設橢圓上焦點F₁（-c，0），由到直線4x+3y+12=0的距離為3，
得$\frac{丨3c+12丨}{5}$=3，
又橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，則a=2c，
又a²=b²+c²，求得a²=4，b²=3．
橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）設直線的斜率為k，則直線方程y-2=kx，設A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3k²+4）x²+12kx=0，
則有x_A=0，x_B=-$\frac{12k}{3{k}^{2}+4}$，y_B=$\frac{-6{k}^{2}+8}{3{k}^{2}+4}$，
所以$\overrightarrow{{F}_{1}B}$=（-$\frac{12k}{3{k}^{2}+4}$，$\frac{-6{k}^{2}+8}{3{k}^{2}+4}$-1），$\overrightarrow{{F}_{1}H}$=（x_H，-1），
由$\overrightarrow{{F}_{1}B}$•$\overrightarrow{{F}_{1}H}$=0，
（-$\frac{12k}{3{k}^{2}+4}$）•x_H+1-$\frac{-6{k}^{2}+8}{3{k}^{2}+4}$=0，
解得：x_H=$\frac{9{k}^{2}-4}{12k}$，
由|${\overrightarrow{MO}}$|=|${\overrightarrow{MA}}$|，則x_M²+y_M²=x_M²-（y_M-2）²，y_M=1，
MH方程：y=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{9{k}^{2}-4}{12k}$），
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{y=-\frac{1}{k}（x-\frac{9{k}^{2}-4}{12k}）}\end{array}\right.$，解得：y_M=$\frac{9{k}^{2}+20}{12（1+{k}^{2}）}$，
由y_M=$\frac{9{k}^{2}+20}{12（1+{k}^{2}）}$=1，解得：k²=$\frac{8}{3}$，k=±$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴直線l的方程y=±$\frac{2\sqrt{6}}{3}$x+2．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，向量數量積的坐標運算，考查考查計算能力，屬于中檔題．