Question

設a∈R，把三階行列式中第一行第二列元素的余子式記為f（x），且關于x的不等式f（x）＜0的解集為
（-2，0）．各項均為正數的數列{a_n}的前n項和為S_n，點列（a_n，S_n）（n∈N^*）在函數y=f（x）的圖象上．
（1）求函數y=f（x）的解析式；
（2）若（k＞0），求的值；
（3）令，求數列{c_n}的前2012項中滿足c_m=6的所有項數之和．

Answer 1

【答案】分析：（1）由條件可知，f（x）=x²+ax，利用不等式f（x）＜0的解集為（-2，0），可求a，從而可得函數y=f（x）的解析式；
（2）利用點列（a_n，S_n）（n∈N^*）在函數y=f（x）的圖象上，可得所以S_n=+，利用當n≥2時，由=S_n-S_n-1，可得數列{a_n}為等差數列，從而可得a_n=2n，進而可求；
（3）分n為奇數、偶數分別確定m，即可求得數列{c_n}的前2012項中滿足c_m=6的所有項數之和．
解答：解：（1）由條件可知，f（x）=x²+ax…（2分）
因為關于x的不等式f（x）＜0的解集為（-2，0），所以a=…（3分）
即函數y=f（x）的解析式為f（x）=x²+x…（4分）
（2）因為點列（a_n，S_n）（n∈N^*）在函數y=f（x）的圖象上，所以S_n=+
n=1代入，a₁=S₁=+，即-=0，
因為a₁＞0，所以a₁=2；…（6分）
當n≥2時，由a_n=S_n-S_n-1，化簡可得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，…（8分）
因為a_n＞0，所以a_n-a_n-1=2，即數列{a_n}為等差數列，且a_n=2n（n∈N^*）…（10分）
則b_n=kⁿ，所以==…（12分）
（3）數列{c_n}的前2012項中
n為奇數時，c_m=a_m=2m=6，∴m=3…（14分）
n偶數時，要滿足c_m=6，則m=3×2^t（t≤9）
所以數列{c_n}的前2012項中滿足c_m=6的所有項數之和為3+3×2+…+3×2⁹=3069…（18分）
點評：本題考查數列與函數的關系，考查數列通項的求解，考查數列求和，確定數列通項是關鍵．