Question

（2012•徐匯區一模）設a∈R，把三階行列式

.

2 3    5 1 4 x+a 4    0 2 1    x

.

中第一行第二列元素的余子式記為f（x），且關于x的不等式f（x）＜0的解集為（-2，0）．各項均為正數的數列{a_n}的前n項和為S_n，點列（a_n，S_n）（n∈N^*）在函數y=f（x）的圖象上．
（1）求函數y=f（x）的解析式；
（2）若bn=2an，求

lim

n→∞

2bn-1

bn+2

的值；
（3）令cn=

an，n為奇數 c n 2 ，n為偶數

，求數列{c_n}的前20項之和．

Answer 1

分析：（1）由條件可知，f（x）=

1

4

x²+ax，利用不等式f（x）＜0的解集為（-2，0），可求a，從而可得函數y=f（x）的解析式；
（2）利用點列（a_n，S_n）（n∈N^*）在函數y=f（x）的圖象上，可得所以S_n=

1

4

an2+

1

2

an，利用當n≥2時，由=S_n-S_n-1，可得數列{a_n}為等差數列，從而可得a_n=2n，b_n=2²ⁿ=4ⁿ，進而可求

lim

n→∞

2bn-1

bn+2

；
（3）分n為奇數、偶數分別求和，即可求得數列{c_n}的前20項之和．

解答：解：（1）由條件可知，f（x）=

1

4

x²+ax…（2分）
因為關于x的不等式f（x）＜0的解集為（-2，0），所以a=

1

2

…（3分）
即函數y=f（x）的解析式為f（x）=

1

4

x²+

1

2

x…（4分）
（2）因為點列（a_n，S_n）（n∈N^*）在函數y=f（x）的圖象上，所以S_n=

1

4

an2+

1

2

an
n=1代入，a₁=S₁=

1

4

a12+

1

2

a1，即

1

4

a12-

1

2

a1=0，
因為a₁＞0，所以a₁=2；…（6分）
當n≥2時，由a_n=S_n-S_n-1，化簡可得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，…（8分）
因為a_n＞0，所以a_n-a_n-1=2，即數列{a_n}為等差數列，且a_n=2n（n∈N^*）…（10分）
則b_n=2²ⁿ=4ⁿ，所以

lim

n→∞

2bn-1

bn+2

=

lim

n→∞

2×4n-1

4n+2

=2…（12分）
（3）n為奇數時，c₁+c₃+…+c₁₉=a₁+a₃+…+a₁₉=

10(a1+a19)

2

=200…（14分）
n偶數時，c₂+c₄+…+c₂₀=c₁+c₂+…+c₁₀=4c₁+2c₃+2c₅+c₇+c₉=72…（16分）
所以，數列{c_n}的前20項之和為200+72=272…（18分）

點評：本題考查數列與函數的關系，考查數列通項的求解，考查數列求和，確定數列通項是關鍵．