Question

已知函數f（x）=

1

2

x²和g（x）=4-x，
（Ⅰ）解關于x的不等式|f′（x）|+|g（x）|＞6；
（Ⅱ）求由曲線y=f（x）和y=g（x）圍成的封閉圖形的面積．

Answer 1

分析：（I）求出f′（x），根據絕對值的意義分類討論將絕對值去掉，求出不等式組的解集．
（II）聯立兩個函數，求出它們的交點，將去邊圖形的面積用定積分表示，利用微積分基本定理求出面積．

解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=x，
∴要解的不等式可化為|x|+|x-4|＞6，
∴

x≥4 x+x-4＞6

或

0≤x＜4 x+4-x＞6

或

x＜0 -x+4-x＞6

，
∴x＞5或x＜-1，
∴不等式的解集為（-∞，-1）∪（5，+∞）．
（Ⅱ）由

y= 1 2 x2 y=4-x

消去y得：x²+2x-8=0解得x₁=2和x₂=-4
∴所求圖形的面積S=

∫

2 -4

[(4-x)-

1

2

x2]dx=(4x-

1

2

x2-

1

6

x3)

|

2 -4

=18．

點評：本題考查解絕對值不等式常利用絕對值的意義分段討論將絕對值不等式轉化為不含絕對值的不等式、考查利用定積分求曲邊圖形的面積．