Question

設橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率e=

3

2

．已知點P(0，

3

2

)到這個橢圓上的點的最遠距離為

7

，求這個橢圓方程．

Answer 1

分析：先設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，M（x，y）為橢圓上的點，由離心率得a=2b，利用兩點間的距離公式表示出|PM|²若b＜

1

2

，則當y=-b時|PM|²最大，這種情況不可能；若b≥

1

2

時，y=-

1

2

時4b²+3=7，從而求出b值，最后求得所求方程．

解答：解：設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，M（x，y）為橢圓上的點，由

c

a

=

3

2

得a=2b，
|PM|2=x2+(y-

3

2

)2=-3(y+

1

2

)2+4b2+3(-b≤y≤b)，
若b＜

1

2

，則當y=-b時|PM|²最大，即(-b-

3

2

)2=7，
∴b=

7

-

3

2

＞

1

2

，故矛盾．
若b≥

1

2

時，y=-

1

2

時，
4b²+3=7，
b²=1，從而a²=4．
所求方程為 

x2

4

+y2=1．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、橢圓的簡單性質、橢圓的標準方程等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．