Question

已知F₁（-c，0），F₂（c，0）是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點，過點F₁作傾斜角為

π

4

的直線l交橢圓于A，B兩點，

AF1

=(2-

3

)

F1B

．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若|AB|=3，求橢圓的標準方程．

Answer 1

分析：（1）直線l的方程為x=y-c，由

x=y-c x2 a2 + y2 b2 =1

，得（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y1+y2=

2b2c

a2+b2

，y1y2=

-b4

a2+b2

，由

AF1

=(2-

3

)

F1B

得

y1

y2

=-(2-

3

)，由此能求出橢圓的離心率．
（2）由|AB|=

2

|y1-y2|=a=3，知b²=3，由此能求出橢圓標準方程．

解答：解：（1）直線l的方程為x=y-c，
由

x=y-c x2 a2 + y2 b2 =1

，
消去x得，（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y1+y2=

2b2c

a2+b2

①，
y1y2=

-b4

a2+b2

②，
又由

AF1

=(2-

3

)

F1B

，
得

y1

y2

=-(2-

3

)③，
由①②得

(y1+y2)2

y1y2

=

y1

y2

+

y2

y1

+2=

-4c2

a2+b2

=-2，
∴a²+b²=2c²，a²=3b²，
∴2a²=3c²，
∴e=

6

3

．
（2）|AB|=

2

|y1-y2|
=

2

×

4b4c2+4b4(a2+b2)

a2+b2

=

4ab2

a2+b2

=a=3，
∴b²=3
∴橢圓標準方程為

x2

9

+

y2

3

=1．

點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．