Question

已知F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0） （c＞0）是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓M的方程是(x-

5

4

c)2+y2=

9c2

16

．
（1）若P是圓M上的任意一點(diǎn)，求證：

|PF1|

|PF2|

是定值；
（2）若橢圓經(jīng)過圓上一點(diǎn)Q，且cos∠F₁QF₂=

3

5

，求橢圓的離心率；
（3）在（2）的條件下，若|OQ|=

34

2

，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P（x，y）是圓(x-

5

4

c)2+y2=

9c2

16

上的任意一點(diǎn)，

|PF1|

|PF2|

=

(x+c)2+y2 (x-c)2+y2

=

9c2 16 -x2+ 5cx 2 - 25c2 16 +x2+2cx+c2 9c2 16 -x2+ 5cx 2 - 25c2 16 +x2-2cx+c2

，由此能夠證明

|PF1|

|PF2|

是定值．
（2）在△F₁QF₂中，F(xiàn)₁F₂=2c，Q在圓上，設(shè)|QF₂|=x，則|QF₁|=3x，橢圓半長軸長為2x，4c²=x²+9x²-6x²×

3

5

，5c²=8x²，由此能求出e的取值范圍．
（3）由x=

5 8

c，知|QF₂|=

5 8

c，|QF₁|=3

5 8

c|

QO

|2=

1

4

|

QF1

+

QF2

|2=

1

4

(

45

8

c2+

5

8

c2+2•

15

8

•

3

5

c2)=

17

8

c2．再由|OQ|=

34

2

，能得到所求橢圓方程．

解答：解：（1）證明：設(shè)P（x，y）是圓(x-

5

4

c)2+y2=

9c2

16

上的任意一點(diǎn)，

|PF1|

|PF2|

=

(x+c)2+y2 (x-c)2+y2

=

9c2 16 -x2+ 5cx 2 - 25c2 16 +x2+2cx+c2 9c2 16 -x2+ 5cx 2 - 25c2 16 +x2-2cx+c2

=3
∴

|PF1|

|PF2|

=3（5分）
（2）解：在△F₁QF₂中，F(xiàn)₁F₂=2c，Q在圓上，設(shè)|QF₂|=x，則|QF₁|=3x，橢圓半長軸長為2x，
4c²=x²+9x²-6x²×

3

5

，5c²=8x²
e²=(

c

2x

)2=

2

5

，e=

10

5

．（11分）
（3）由（2）知，x=

5 8

c，即|QF₂|=

5 8

c，則|QF₁|=3

5 8

c|

QO

|2=

1

4

|

QF1

+

QF2

|2=

1

4

(|

QF1

|2+|

QF2

|2+2|

QF1

||

QF2

|cos∠F1QF2)=

1

4

(

45

8

c2+

5

8

c2+2•

15

8

•

3

5

c2)=

17

8

c2
由于|OQ|=

34

2

，∴c=2，進(jìn)一步由e=

c

a

=

10

5

得到a²=10，b²=6
所求橢圓方程是

x2

10

+

y2

6

=1．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用．