Question

（2012•湖南模擬）如圖，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁（即底面為正方形的直四棱柱）中，AA₁=2AB=4，點 E 在 CC₁ 上且 C₁E=3EC．
（1）證明：A₁C丄平面BED；
（2）求直線A₁C與平面A₁DE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）以DA為x軸，以DC為y軸，以DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，則

A1C

=(-2，2，-4)，

DB

=(2，2，0)，

DE

=(0，2，1)，由向量法能夠證明A₁C丄平面BED．
（2）由

A1E

=(-2，2，-3)，

A1D

=(-2，0，-4)，求出平面A₁DE的法向量

n

=(-4，-1，2)，取

A1C

=（-2，2，-4），
設直線A₁C與平面A₁DE所成角為θ，由sinθ=|cos＜

n

，

A1C

＞|能求出直線A₁C與平面A₁DE所成角的正弦值．

解答：（1）證明：如圖，以DA為x軸，以DC為y軸，以DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
則A₁（2，0，4），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（0，2，1）
∴

A1C

=(-2，2，-4)，

DB

=(2，2，0)，

DE

=(0，2，1)，
∵

A1C

•

DB

=-2×2+2×2-4×0=0，

A1C

•

DE

=-2× 0+2×2-4×1=0，
∴

A1C

⊥

DB

，

A1C

⊥

DE

，
∴A₁C丄平面BED．
（2）解：∵

A1E

=(-2，2，-3)，

A1D

=(-2，0，-4)，
設平面A₁DE的法向量為

n

=(x，y，z)，
∵

n

•

A1E

=0，

n

•

A1D

=0，
∴

-2x+2y-3z=0 -2x-4z=0

，
取

n

=(-4，-1，2)，

A1C

=（-2，2，-4），
設直線A₁C與平面A₁DE所成角為θ，
則sinθ=|cos＜

n

，

A1C

＞|=|

8-2-8

21 • 24

|=

14

42

，
∴直線A₁C與平面A₁DE所成角的正弦值為

14

42

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明和求直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認真審題，合理地建立空間直角坐標系，注意向量法的靈活運用．