Question

（2012•湖南模擬）設函數y=f（x）在區間（a，b）的導函數f′（x），f′（x）在區間（a，b）的導函數f″（x），若在區間（a，b）上的f″（x）＜0恒成立，則稱函數f（x）在區間（a，b）上為“凸函數”，已知f(x)=

1

12

x4-

1

6

mx3-

3

2

x2，若當實數m滿足|m|≤2時，函數f（x）在區間（a，b）上為“凸函數”，則b-a的最大值為（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：利用函數總為“凸函數”，即f″（x）＜0恒成立，轉化為不等式恒成立問題，討論解不等式即可．

解答：解：當|m|≤2時，f″（x）=x²-mx-3＜0恒成立等價于當|m|≤2時，mx＞x²-3恒成立．
當x=0時，f″（x）=-3＜0顯然成立．
當x＞0，x-

3

x

＜m
∵m的最小值是-2，∴x-

3

x

＜-2，從而解得0＜x＜1；
當x＜0，x-

3

x

＞m
∵m的最大值是2，∴x-

3

x

＞2，從而解得-1＜x＜0．
綜上可得-1＜x＜1，從而（b-a）_max=1-（-1）=2
故選B．

點評：本題考查函數的導數與不等式恒成立問題的解法，關鍵是要理解題目所給信息（新定義），考查知識遷移與轉化能力，屬于中檔題．