Question

（本小題滿分14分）

已知函數�。�為實常數）.

（Ⅰ）當時，求函數的單調區間；

（Ⅱ）若函數在區間上無極值，求的取值范圍；

（Ⅲ）已知且，求證: .

 

Answer 1

【答案】

(I) 在時遞增；在時遞減.

（II）的取值范圍是.  

（Ⅲ）

【解析】(I)當a=1時，,然后求導利用導數大（�。┯诹�，分別求其單調遞（減）區間即可.S

(II)本小題的實質是在(0,2)上恒成立或在(0,2)上恒成立.然后根據討論參數a的值求解即可.

（III）由（Ⅱ）知，當時，在處取得最大值.

即.這是解決本小題的關鍵點，然后再令，則再進一步變形即可，從而得到

然后再根據可利用進行放縮證明出結論.

(I)當時，，其定義域為；

，

令，并結合定義域知； 令，并結合定義域知；

故在時遞增；在時遞減.

（II）,

①當時，，在上遞減，無極值；

②當時，在上遞增，在上遞減，故在處取得極大值.要使在區間上無極值，則.

綜上所述，的取值范圍是.   ………………………（9分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當時，在處取得最大值.

即.

令，則，即　，