Question

設f(x)=ax³+bx²+cx的極小值為-8，其導函數(shù)y=f′(x)的圖像經(jīng)過點(-2，0)，(，0)，如圖所示，

(Ⅰ)求f(x)的解析式；

(Ⅱ)若對x∈[-3，3]都有f(x)≥m²-14m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

解：(Ⅰ)∵f′(x)=3ax²+2bx+c,且y=f′(x)的圖像經(jīng)過點(-2,0),(,0),

∴ 

∴f(x)=ax³+2ax²-4ax,由圖像可知函數(shù)y=f(x)在(-∞,-2)上單調遞減,在(-2,)上單調遞增,在(,+∞)上單調遞減, 

∴f(x)_極小值=f(-2)=a(-2)³+2a(-2)²-4a(-2)=-8,解得a=-1 

∴f(x)=-x³-2x²+4x 

(Ⅱ)要使對x∈[-3,3]都有f(x))m²-14m恒成立,只需f(x)_min≥m²-14m即可. 

由(Ⅰ)可知函數(shù)y=f(x)在[-3,-2)上單調遞減,在(-2,)上單調遞增,在(,3)上單調遞減,且f(-2)=-8,f(3)=-3³-2× 3²+4×3=-33＜-8,∴f(x)_min=f(3)=-33 

-33≥m²-14m3≤m≤11故所求的實數(shù)m的取值范圍為{m|3≤m≤11}.