Question

已知O是△ABC所在平面上的一點，A、B、C所對的邊的分別為a，b，c，若a

OA

+b

OB

+c

OC

=

0

，則O是△ABC的（　　）

A．重心

B．垂心

C．外心

D．內心

Answer 1

分析：先將a

OA

+b

OB

+c

OC

=

0

轉化成

AO

=

b

a+b+c

AB

+

c

a+b+c

AC

，記

AB

=c

n1

，

AC

=b

n2

，其中

n1

、

n2

分別表示

AB

、

AC

方向上的單位向量，從而可得結論．

解答：解：∵

OB

=

AB

-

AO

，

OC

=

AC

-

AO

∴a

OA

+b

OB

+c

OC

=a

OA

+b（

AB

-

AO

）+c（

AC

-

AO

）
=b

AB

+c

AC

-（a+b+c）

AO

而 a

OA

+b

OB

+c

OC

=

0

，
∴（a+b+c）

AO

=b

AB

+c

AC

即

AO

=

b

a+b+c

AB

+

c

a+b+c

AC

記

AB

=c

n1

，

AC

=b

n2

，其中

n1

、

n2

分別表示

AB

、

AC

方向上的單位向量
則

AO

=

bc

a+b+c

（

n1

+

n2

）
由該式可以看出AO位于∠BAC的角平分線上，故知O只能為內心，即角平分線交點．
故選D．

點評：本題主要考查了向量在幾何中的應用，以及向量的基本運算，同時考查了轉化的思想，屬于中檔題．