Question

在△ABC中，A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且滿足a+b+c=

2

+1，sinA+sinB=

2

sinC，則c=

 

；若C=

π

3

，則△ABC的面積S=

 

．

Answer 1

分析：先利用正弦定理把題設等式中角的正弦轉化成邊的關系，進而與a+b+c=

2

+1聯立求得c，再利用余弦定理求得ab的值，最后利用三角形面積公式求得△ABC的面積．

解答：解：依題意及正弦定理得a+b=

2

c，且a+b+c=

2

+1，
因此c+

2

c=

2

+1，c=1，
當C=

π

3

時，c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=1，
∴（a+b）²-3ab=1．
又a+b=

2

，因此2-3ab=1，
∴ab=

1

3

，
則△ABC的面積S=

1

2

absinC=

1

2

×

1

3

sin

π

3

=

3

12

．
故答案為：1；

3

12

．

點評：本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應用．正弦定理和余弦定理常用來解決解三角形問題中的邊，角問題的轉化的．