Question

（2011•海淀區二模）在平面直角坐標系xOy中，設點P（x，y），M（x，-4）以線段PM為直徑的圓經過原點O．
（1）求動點P的軌跡W的方程；
（2）過點E（0，-4）的直線l與軌跡W交于兩點A，B，點A關于y軸的對稱點為A^′，試判斷直線A^′B是否恒過一定點，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據點P（x，y），M（x，-4）以線段PM為直徑的圓經過原點O，可知OP⊥OM，所以

OP

•

OM

=0，即（x，y）•（x，-4）=0，化簡可得動點P的軌跡W的方程；
（2）直線l與軌跡W的方程聯立，進而可求直線A^′B的方程，由此，可判斷是否恒過一定點

解答：解：（1）由題意可得OP⊥OM，所以

OP

•

OM

=0，即（x，y）•（x，-4）=0
即x²-4y=0，即動點P的軌跡w的方程為x²=4y
（2）設直線l的方程為y=kx-4，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A′（-x₁，y₁）．
由

y=kx-4 x2=4y

消y整理得x²-4kx+16=0
則x₁+x₂=4k，x₁x₂=16
直線A /B：y-y2=

y2-y1

x2+x1

(x-x2)
∴y =

y2-y1

x2+x1

(x-x2)+y2
∴y =

x2-x1

4

x+

x1x2

4

即y =

x2-x1

4

x+4，所以，直線A′B恒過定點（0，4）．

點評：本題以軌跡為載體，考查曲線方程，考查直線與曲線的位置關系，同時考查直線恒過定點問題，有一定的綜合性．