Question

設函數f(x)=ax-

a

x

-2lnx
（Ⅰ）若f（x）在x=2時有極值，求實數a的值和f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若f（x）在定義域上是增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據f（x）在x=2時有極值可知f′（2）=0，求出a的值，然后根據導數符號確定函數的單調區間；
（II）若f（x）在定義域上是增函數，則f'（x）≥0在x＞0時恒成立，然后將a分離出來，研究不等式另一側的最值，即可求出所求．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）在x=2時有極值，
∴有f′（2）=0，…（2分）
又f′(x)=a+

a

x2

-

2

x

，∴有a+

a

4

-1=0，
∴a=

4

5

…（5分）
∴有f′(x)=

4

5

+

4

5x2

-

2

x

=

2

5x2

(2x2-5x+2)，
由f′（x）=0有x1=

1

2

，x2=2，…（7分）
將x，f′（x），f（x）關系列表如下，定義域為（0，+∞）

x	0＜x＜ 1 2	x= 1 2	1 2 ＜x＜2	x=2	x＞2
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增		遞減		遞增

∴f（x）的遞增區間為(0，

1

2

]和[2，+∞），遞減區間為(

1

2

，2)…（9分）
（Ⅱ）若f（x）在定義域上是增函數，則f'（x）≥0在x＞0時恒成立，…（10分）
∵f′(x)=a+

a

x2

-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

，
∴需x＞0時ax²-2x+a≥0恒成立，…（11分）
化為a≥

2x

x2+1

恒成立，
∵

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

≤1，
∴a≥1，此為所求．…（14分）

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及函數的單調區間，同時考查了分類討論的數學思想和運算求解的能力，屬于中檔題．