Question

已知雙曲線x²-y²=2，過定點(diǎn)P（2，0）作直線l與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的直線l的條數(shù)為（　　）

A．1條

B．2條

C．3條

D．4條

Answer 1

分析：設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），與雙曲線的方程聯(lián)立轉(zhuǎn)化為分類討論其解的情況，即可得出．

解答：解：如圖所示．
由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），
聯(lián)立

y=k(x-2) x2-y2=2

，化為（1-k²）x²+4k²x-4k²-2=0，
①當(dāng)1-k²=0時(shí)，解得k=±1，得到直線l：y=±（x-2），分別與漸近線y=±x平行，因此與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，滿足題意；
②當(dāng)1-k²≠0時(shí)，由△=16k⁴-4（1-k²）（-4k²-2）=0，解得k=±

3

3

．
得到直線l：y=±

3

3

(x-2)，此時(shí)直線l分別與雙曲線的作支相切，故只有一個(gè)交點(diǎn)．
綜上可知：過定點(diǎn)P（2，0）作直線l與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)的這樣的直線l只有4條．
故選D．

點(diǎn)評：本題考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立利用△分類討論等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．