Question

已知函數 f(x)=

(a2-1)log2(x+2)，(-2＜x≤0) ax2+1，(x＞0)

在（-2，+∞）上是單調函數，則實數a的取值范圍是（　　）

• A、1＜a≤

  2

• B、1＜a≤

  2

  或a＜-

  2

• C、a≥

  2

• D、a≤-

  2

Answer 1

分析：由函數f（x）在（-2，+∞）上是單調增函數，可得

a2-1＞0 a＞0 0+1≥a2-1

，由此求得a的取值范圍．函數f（x）在（-2，+∞）上是單調減函數，則有

a2-1 ＜0 a＜0 0+1≤a2-1

，
解得 a 的取值范圍．再把這兩個實數a的取值范圍取并集，即得所求．

解答：解：若函數f（x）在（-2，+∞）上是單調增函數，則有

a2-1＞0 a＞0 0+1≥a2-1

，解得 1＜a≤

2

．
若函數f（x）在（-2，+∞）上是單調減函數，則有

a2-1 ＜0 a＜0 0+1≤a2-1

，解得 a∈∅．
綜上可得，實數a的取值范圍是{a|1＜a≤

2

}∪∅={a|1＜a≤

2

}，
故選A．

點評：本題主要考查對數函數的單調性和特殊點，體現了等價轉化、分類討論的數學思想，屬于中檔題．