Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數，且是偶函數，給出下列四個結論：
①f（x）是周期函數；
②x=π是f（x）圖象的一條對稱軸；
③（-π，0）是f（x）圖象的一個對稱中心；
④當時，f（x）一定取最大值．
其中正確的結論的代號是

1. A.
   ①③
2. B.
   ①④
3. C.
   ②③
4. D.
   ②④

Answer 1

A
分析：依據是偶函數，可知f（x+）=f（-x+）進而推斷函數f（x）是以π為周期的函數．依據f（x）是定義在R上的奇函數，可得f（x）關于原點對稱．依題意不能斷定函數一定有最值．最后斷定①③正確．
解答：∵是偶函數
∴f（x+）=f（-x+）=f（x-）=f（x+-π）
∴f（x）=f（x-π），即函數f（x）是以π為周期的函數．
∴①是正確的．
∵f（x）為定義在R上的奇函數
∴f（x）關于原點對稱，
∵π為函數的周期，
∴f（x）亦關于（π，0），（-π，0）對稱，
故②不正確，③正確．
∵函數f（x）不一定有最大值，故④不正確．
故選A
點評：本題主要考查函數的周期性．要利用好周期函數的奇偶性來判斷函數的對稱性．