Question

設函數f（x）=x-m（x+1）ln（x+1），（x＞-1，m≥0）
（1）求f（x）的單調區間；
（2）當m=1時，若直線y=t與函數f（x）在[-

1

2

，1]上的圖象有兩個交點，求實數t的取值范圍；
（3）證明：當a＞b＞0時，（1+a）^b＜（1+b）^a．

Answer 1

分析：（1）首先求出函數的導數，然后令f′（x）=0，解出函數的極值點，最后根據導數判斷函數的單調性，從而求解．
（2）由（1）求出f（x）的單調區間，由題意直線y=t與函數f（x）在[-

1

2

，1]上的圖象有兩個交點等價于方程f（x）=t在[-

1

2

，1]上有兩個實數解，從而求出實數t的取值范圍；
（3）只需證bln（1+a）＜aln（1+b），只需證：

ln(1+a)

a

＜

ln(1+b)

b

，設g(x)=

ln(1+x)

x

，(x＞0)則利用函數的單調性進行證明．

解答：解：（1）f'（x）=1-mln（x+1）-m
=1 ①m=0時，f'（x）=1＞0，
∴f（x）在定義域（-1，+∞）是增函數（2分）
=2 ②m＞0時，令f'（x）＞0得mln（x+1）＜1-m，∴-1＜x＜e

1-m

m

-1
∴f（x）在[-1，e

1-m

m

-1]上單調遞增，在[e

1-m

m

-1，+∞)上單調遞減（4分）
（2）直線y=t與函數f（x）在[-

1

2

，1]上的圖象有兩個交點等價于方程f（x）=t在[-

1

2

，1]上有兩個實數解（5分）
由（I）知，f（x）在[-

1

2

，0]上單調遞增，在[0，1]上單調遞減．
又f(0)=0，f(1)=1-ln4，f(-

1

2

)=-

1

2

+

1

2

ln2，且f(1)＜f(-

1

2

)（7分）
∴當t∈[-

1

2

+

1

2

ln2，0)時，方程f（x）=t有兩個不同解，
即直線y=t與函數f（x）在[-

1

2

，1]上的圖象有兩個交點（8分）
（3）要證：（1+a）^b＜（1+b）^a
只需證bln（1+a）＜aln（1+b），只需證：

ln(1+a)

a

＜

ln(1+b)

b

（10分）
設g(x)=

ln(1+x)

x

，(x＞0)則g′(x)=

x 1+x -ln(1+x)

x2

=

x-(1+x)ln(1+x)

x2(1+x)

．（12分）
由（I）知x-（1+x）ln（1+x）在（0，+∞）單調遞減，∴x-（1+x）ln（1+x）＜0即g（x）是減函數，而a＞b
∴g（a）＜g（b），故原不等式成立（14分）

點評：此題主要考查對數函數的導數，函數單調性的判定，函數最值，函數、方程與不等式等基礎知識，一般出題者喜歡考查學生的運算求解能力、推理論證能力及分析與解決問題的能力，要出學生會用數形結合的思想、分類與整合思想，化歸與轉化思想、有限與無限的思想來解決問題．