Question

已知中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的離心率為

5

（1）求其漸近線方程；
（2）過雙曲線上點P的直線分別交兩條漸近線于P₁、P₂兩點，且

P1P

=2

PP2

，S△OP1P2=9，求雙曲線方程．

Answer 1

分析：（1）利用雙曲線的離心率，可得a，b之間的關系，即可求其漸近線方程；
（2）利用向量知識確定P的坐標，結合三角形的面積公式，即可求得結論．

解答：解：（1）∵雙曲線的離心率為

5

，∴

c

a

=

5

，∴

b

a

=2
∴雙曲線的漸近線方程為y=±2x…（3分）
（2）設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P（x，y）
∵

P1P

=2

PP2

，
∴x=

x1+2x2

3

，y= 

2x1-4x2

3

即P(

x1+2x2

3

，  

2x1-4x2

3

)
由（1）可知，設所求雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

4a2

=1
∵點P在雙曲線，上∴8x1•x2=9a2①…（5分）
又∵S△OP1P2=9，∴

1

2

|OP1|•|OP2|•sin∠P1OP2=9②
由①②得a²=4…（7分）
∴所求雙曲線方程為

x2

4

-

y2

16

=1…（8分）

點評：本題考查雙曲線的方程與性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．