Question

（2013•遼寧二模）下列函數中，在其定義域內既是奇函數又是減函數的是（　�。�

• A．y=sin(x-

  π

  6

  )
• B．y=2^x
• C．y=x
• D．y=-x³

Answer 1

分析：根據奇函數在x=0處函數值為0，得A項不是奇函數，不符合題意；根據指數函數的單調性，得y=2^x是R上的增函數，不符合題意；根據函數y=x是R上的增函數，得C項不符合題意；由此可得只有D項符合題意，再利用單調性和奇偶性的定義加以證明即可．

解答：解：對于A，因為函數y=sin(x-

π

6

)當x=0時，y=sin（-

π

6

）≠0
所以y=sin(x-

π

6

)不是奇函數，故A項不符合題意；
對于B，因為2＞1，所以指數函數y=2^x是R上的增函數，
不滿足在其定義域內是減函數，故B項不符合題意；
對于C，顯然函數y=x是R上的增函數，故C項也不符合題意；
對于D，設f（x）=-x³，可得
f（-x）=-（-x）³=x³=-f（x），因此函數y=-x³是奇函數，
又因為f′（x）=-2x²≤0恒成立，可得y=-x³是其定義域內的減函數
∴函數y=-x³是其定義域內的奇函數且是減函數，故D項符合題意
故選：D

點評：本題給出定義在R上的幾個函數，要我們找出其中的奇函數且是減函數的函數，著重考查了基本初等函數的單調性與奇偶性及其判斷方法的知識，屬于基礎題．