Question

(本小題滿分14分) 已知函數在處取得極值。

（Ⅰ）求函數的解析式；

（Ⅱ）求證：對于區間上任意兩個自變量的值，都有；

（Ⅲ）若過點可作曲線的三條切線，求實數的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）略

（Ⅲ）所求的實數a的取值范圍是  

【解析】（Ⅰ），依題意，，     …………………………………1分

即，解得      …………………………………3分

經檢驗符合。

（Ⅱ）

當時，，故在區間上為減函數，

              ………………………………5分

∵對于區間上任意兩個自變量的值，

都有

  …………………………………7分

（Ⅲ），

 ∵曲線方程為，∴點不在曲線上，

設切點為M(x₀,y₀)，則點M的坐標滿足。

因，故切線的斜率為，

整理得。

∵過點A(1,m)可作曲線的三條切線，

∴關于的方程有三個實根。                …………………………………9分

設，則，

由，得或

在上單調遞增，在（0,1）上單調遞減。

∴函數的極值點為，        …………………………………11分

∴關于方程有三個實根的充要條件是

，解得

故所求的實數a的取值范圍是                       …………………………………14分