Question

斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁是底面邊長為2的正三角形，頂點A₁在底面ABC上的射影O是△ABC的中心，AA₁與AB的夾角是45°．

(1)求證：AA₁⊥平面A₁BC；

(2)求此棱柱的側面積．

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：∵點A1在底面ABC上的射影O是正△ABC的中心， ∴A1—ABC為正三棱錐，AA1=A1B=A1C． 又∠A1AB=45°∴∠AA1B=∠AA1C=90°，即AA1⊥A1B，AA1⊥A1C． 又A1B∩A1C=A，∴AA1⊥平面A1BC． (2)解：連結AO并延長交BC于D， ∵是正△ABC的中心，∴AD⊥BC． 又AO是AA1在底面ABC上的射影， ∴AA1⊥BC(由(1)知)， ∵BB1∥AA1，∴BB1⊥BC， ∴BCC1B1是矩形． 在Rt△AA1B中，AA1=A1B==BB1，又BC=2， ∴SAA1B1B=2S△AA1B=2，SBCC1B1=2． ∴S側=2SAA1B1B＋SBCC1B1=4＋2．

提示：

點評：求斜棱柱的側面積，可以求出每個側面的面積相加，也可以求出直截面的周長和側棱長計算其乘積．