Question

在四棱錐中，底面是一直角梯形，，與底面成角.  （1）若為垂足，求證：；  （2）在（1）的條件下，求異面直線與所成角的余弦值； （3）求平面與平面所成的銳二面角的正切值.

Answer 1

（本小題主要考查空間線線關系、面面關系、空間向量及坐標運算等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力）

解法一：（1）

      

…………4分

（2）過點作交于，連結，

則與所成角即為與所成角.

  

∴異面直線與所成角的余弦值為.   …………9分

（3）延長與相交于點，連，

則面與面的交線為，易知⊥平面，

過作，

，

，

∴平面與平面所成的二面角的正切值為2.         ……14分

       解法二：（1）如圖建立空間直角坐標系，

        …………4分

（2）由（1）知，

      

∴異面直線與所成角的余統值為.        …………9分

（3）易知，  

則

的法向量.  

 

∴平面PAB與平面PCD所成銳二面角的正切值為2.     …………14分