Question

給出一個不等式≥(x∈R)．

經驗證：當c＝1，2，3時，對于一切實數x，不等式都能成立．

試問：當c取任何正數時，不等式對任何實數x是否都成立？若能成立，請給出證明；若不成立，請求出c的取值范圍，使不等式對任何實數x都成立．

Answer 1

答案：
解析：

解：設f(x)＝，設t＝，(t≥)． 　　則f(x)＝＝t＋(t≥)， 　　∴f(x)－＝(t＋)－＝， 　　要使原不等式成立，即f(x)－≥0， 　　∵t≥＞0，∴只須t－1≥0，∴t2c≥1，t2≥． 　　∴x2＋c≥，x2≥－c． 　　故當c＝時，原不等式不是對一切實數x都成立，即不等式對一切實數x不都成立． 　　要使原不等式對一切實數x都成立，即使x2≥－c對一切實數都成立， 　　∵x2≥0，故－c≤0，∴c≥1(c＞0)． 　　即c≥1時，原不等式對一切實數x都成立．