Question

給出一個(gè)不等式（x∈R）．
經(jīng)驗(yàn)證：當(dāng)c=1，2，3時(shí)，對(duì)于x取一切實(shí)數(shù)，不等式都成立．
試問(wèn)：當(dāng)c取任何正數(shù)時(shí)，不等式對(duì)任何實(shí)數(shù)x是否都成立？若能成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)求出c的取值范圍，使不等式對(duì)任何實(shí)數(shù)x都能成立．

Answer 1

解：令f（x）=，設(shè)u=（u≥），則f（x）=（u≥）．
∴f（x）=．
要使不等式成立，即f（x）-≥0．
∵u≥＞0，∴只須u-1≥0，
∴u²c≥1，即 u²≥，∴x²+c≥，∴x²≥-c．
故當(dāng)＞c 時(shí)，即 0＜c＜1原不等式不是對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，即原不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x不都成立．
要使原不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，即使x²≥-c對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立．
∵x²≥0，故應(yīng)有 -c≤0．
再由c＞0 可得，當(dāng)c≥1時(shí)，原不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x都能成立．
分析：令f（x）=，設(shè)u=（u≥），則f（x）=（u≥）．用分析法可得要使f（x）-≥0，只需要x²≥-c． 故當(dāng)＞c 時(shí)，原不等式不是對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，當(dāng) -c≤0時(shí)，原不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x都能成立．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的恒成立問(wèn)題，用分析法證明不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．