Question

在△ABC中，A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知a+b=5，c=

7

，且4cos2(

A+B

2

)+cos2C=

1

2

（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把已知的等式左邊第一項先利用誘導公式化簡，再利用二倍角的余弦函數公式化簡，第二項利用二倍角的余弦函數公式化簡，可得出關于cosC的方程，求出方程的解得到cosC的值，由C為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出C的度數；
（Ⅱ）利用余弦定理得到c²=a²+b²-2abcosC，再利用完全平方公式變形后，將c及a+b的值代入，求出ab的值，再由cosC的值，利用同角三角函數間的基本關系求出sinC的值，由ab，sinC的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：解：（Ⅰ）∵cos

A+B

2

=cos（

π

2

-

C

2

）=-sin

C

2

，cos2C=2cos²C-1，
∴4cos²（

A+B

2

）+cos2C=4sin²

C

2

+cos2C=2（1-cosC）+2cos²C-1=

1

2

，
整理得：（2cosC-1）²=0，可得cosC=

1

2

，
又C為三角形的內角，
則C=

π

3

；
（Ⅱ）∵a+b=5，c=

7

，cosC=

1

2

，
∴由余弦定理得：c²=7=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab=25-3ab，
∴ab=6，
又cosC=

1

2

，∴sinC=

1-cos2C

=

3

2

，
則△ABC的面積S=

1

2

absinC=

1

2

×6×

3

2

=

3 3

2

．

點評：此題考查了二倍角的余弦函數公式，余弦定理，同角三角函數間的基本關系，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．