Question

設函數(shù)y=f（x）在（a，b）上的導函數(shù)為f′（x），f′（x）在（a，b）上的導函數(shù)為f″（x），若在（a，b）上，f″（x）＜0恒成立，則稱函數(shù)f（x）在（a，b）上為“凸函數(shù)”．已知．
（Ⅰ）若f（x）為區(qū)間（-1，3）上的“凸函數(shù)”，試確定實數(shù)m的值；
（Ⅱ）若當實數(shù)m滿足|m|≤2時，函數(shù)f（x）在（a，b）上總為“凸函數(shù)”，求b-a的最大值．

Answer 1

解：由函數(shù)得，f″（x）=x²-mx-3（3分）
（Ⅰ）若f（x）為區(qū)間（-1，3）上的“凸函數(shù)”，則有f″（x）=x²-mx-3＜0在區(qū)間（-1，3）上恒成立，
由二次函數(shù)的圖象，當且僅當，
即?m=2．（7分）
（Ⅱ）當|m|≤2時，f″（x）=x²-mx-3＜0恒成立?當|m|≤2時，mx＞x²-3恒成立．（8分）
當x=0時，f″（x）=-3＜0顯然成立．（9分）
當x＞0，
∵m的最小值是-2．
∴．
從而解得0＜x＜1（11分）
當x＜0，
∵m的最大值是2，∴，
從而解得-1＜x＜0．（13分）
綜上可得-1＜x＜1，從而（b-a）_max=1-（-1）=2（14分）
分析：（Ⅰ）函數(shù)在區(qū)間（-1，3）上為“凸函數(shù)”，所以f″（x）＜0，即對函數(shù)y=f（x）二次求導，轉(zhuǎn)化為不等式問題解決即可；
（Ⅱ）利用函數(shù)總為“凸函數(shù)”，即f″（x）＜0恒成立，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，討論解不等式即可．
點評：本題考查函數(shù)的導數(shù)與不等式恒成立問題的解法，關鍵是要理解題目所給信息（新定義），考查知識遷移與轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．