Question

（15分） 如圖，已知點P在圓柱OO₁的底面⊙O上，AB、A₁B₁分別為⊙O、⊙O₁的直徑，且A₁A⊥平面PAB.
(1)求證：BP⊥A₁P；
(2)若圓柱OO₁的體積V＝12π，OA＝2，∠AOP＝120°，求三棱錐A₁－APB的體積．
(3)在AP上是否存在一點M，使異面直線OM與A₁B所成角的余弦值為 ？若存在，請指出M的位置，并證明；若不存在，請說明理由.

Answer 1

(1)證明：因為AP⊥BP，由AA₁⊥平面PAB，得AA₁⊥BP

且AP∩AA₁＝A
; 所以BP⊥平面PAA₁
故BP⊥A₁P   
(2)由題意V＝π·OA²·AA₁＝4π·AA₁＝12π,解得AA₁＝3
由OA＝2,∠AOP＝120°,得∠BAP＝30°，BP＝2
AP＝2，∴S_△PAB＝×2×2＝2   
∴三棱錐A₁－APB的體積V＝S_△PAB·AA₁＝×2×3＝2
(3)答：在AP上存在一點M，當M為AP的中點時，使異面直線OM與A₁B所成角的余弦值為
證明：∵O、M分別為AB、AP的中點，則OM∥BP，且已證BP⊥A₁P
∴∠A₁BP就是異面直線OM與A₁B所成的角    
在Rt中，        
∴在AP上存在一點M，當M為AP的中點時，使異面直線OM與A₁B所成角的余弦值為