Question

我校學生會要組建學生明星籃球隊，需要在各班選拔預備隊員．選拔過程中每人投籃5次，若投中3次則進入B級，投中4次及以上則進入A級，已知阿達每次投籃投中的概率是

1

2

．
（1）設阿達在5次投籃中，投中次數為X，求X的分布列和它的數學期望E（X）；
（2）求阿達投籃4次恰好進入B級的概率；
（3）為增加競爭力度，學生會下發新規：連續兩次投籃不中必須停止投籃，求阿達投籃次數不超過4次的概率．

Answer 1

分析：（1）由題意知X的取值為0，1，2，3，4，5，且X～B(5，

1

2

)，根據符合二項分布寫出變量的概率，寫出分布列做出期望值．
（2）阿達投籃4次恰好進入B級表示選拔過程中每人投籃5次，若投中3次則進入B級，根據符合獨立重復試驗的概率公式，得到結果．
（3）阿達“投籃次數不超過4次”這一事件有如下幾種情況：①阿達共投籃兩次，兩次都不中，②阿達共投籃三次，依次是中，不中，不中．③阿達共投籃四次，依次是中，中，不中，不中；不中，中，不中，不中，
這三種結果是互斥的，得到概率．

解答：解：（1）由已知X的取值為0，1，2，3，4，5，且X～B(5，

1

2

)
∴P(X=i)=

C

i 5

(

1

2

)i×(

1

2

)5-i=

C

i 5

(

1

2

)5

(其中i∈N，且i≤5)

…（2分）
∴X分布列為

X	0	1	2	3	4	5
P	1 32	5 32	10 32	10 32	5 32	1 32

…（4分）E(X)=5×

1

2

=

5

2

．…（6分）
（2）設“阿達投籃4次恰好進入B級”為事件A，
則P(A)=

C

2 3

(

1

2

)2×

1

2

×

1

2

=

3

16

．…（8分）
（3）設“阿達第i次投籃命中”為事件A_i（i=1，2，3，4），若i≠j，則A_i與A_j獨立（i，j=1，2，3，4），根據新規：若連續兩次投籃不中則停止投籃，阿達“投籃次數不超過4次”這一事件有如下幾種情況：
①阿達共投籃兩次，兩次都不中，其概率為P(

.

A1

.

A2

)=(

1

2

)2=

1

4

…（9分）
②阿達共投籃三次，依次是中，不中，不中．其概率為P(A1

.

A2

.

A3

)=

1

2

×(

1

2

)2=

1

8

…（11分）
③阿達共投籃四次，依次是中，中，不中，不中；不中，中，不中，不中，
即A1A2

.

A3

.

A4

和

.

A1

A2

.

A3

.

A4

，又A1A2

.

A3

.

A4

和

.

A1

A2

.

A3

.

A4

互斥．
故其概率為P(A1A2

.

A3

.

A4

+

.

A1

A2

.

A3

.

A4

)=P(A1A2

.

A3

.

A4

)+P(

.

A1

A2

.

A3

.

A4

)=2×(

1

2

)4=

1

8

…（13分）
又①②③這三種情況兩兩互斥，故阿達投籃次數不超過4次的概率為

1

4

+

1

8

+

1

8

=

1

2

（14分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，看出獨立重復試驗的概率公式，本題解題的關鍵是理解條件中所給的事件包含的結果，本題是一個綜合題目．