Question

（2007•天津一模）已知數列{an}滿足a1=

1

2

，an•an+1=

1

2

(

1

4

)n(n∈N*)
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}的前n項和S_n=n²，T_n=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n，求證：T_n＜3．

Answer 1

分析：（1）由已知可得

an+1an+2

anan+1

=

1 2 ( 1 4 )n+1

1 2 ( 1 4 )n

，于是

an+2

an

=

1

4

．又由a₁可得a₂，進而可得{a_n}是一個等比數列；
（2）利用bn=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

即可得出a_n，再利用“錯位相減法”即可得出．

解答：解：（1）

an+1an+2

anan+1

=

1 2 ( 1 4 )n+1

1 2 ( 1 4 )n

，∴

an+2

an

=

1

4

．
又∵a1=

1

2

，a1a2=

1

2

×

1

4

，∴a2=

1

4

=

1

2

×

1

2

，
∴{an}是公比為

1

2

的等比數列，
∴an=(

1

2

)n．
（2）當n=1時，b₁=S₁=1，
當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．n=1時也成立．
∴b_n=2n-1，
∵Tn=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

①
∴

1

2

Tn=

1

22

+

3

23

+

5

24

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

②
①-②得：

1

2

Tn=

1

2

+

2

22

+

2

23

+…+

2

2n

-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

2n+3

2n+1

，
∴Tn=3-

2n+3

2n

，
∴T_n＜3．

點評：熟練掌握利用bn=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

即可得出a_n、“錯位相減法”、等比數列的定義及其通項公式是解題的關鍵．