Question

（2012•湛江二模）已知拋物線y²=mx（m＞0，m為常數）的焦點是F（1，0），P（x₀，y₀）是拋物線上的動點，定點A（2，0）．
（1）若x₀＞2，設線段AP的垂直平分線與x軸交于Q（x₁，O），求x₁的取值范圍；
（2）是否存在垂直于x軸的定直線l，使以AP為直徑的圓截l得到的弦長為定值？若存在，求其方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線y²=mx（m＞0，m為常數）的焦點是F（1，0），確定拋物線方程，進而求出線段AP的垂直平分線方程，令y=0，可得x1=4+

4

x0-2

+

x0-2

2

，利用基本不等式可確定x₁的取值范圍；
（2）假設存在所求直線l為x=n，先確定AP的中點M（圓心）到l的距離d=|1+

x0

2

-n|，半徑為r=

1

2

x02+4

，進而可得弦長，由此可得結論．

解答：解：（1）∵拋物線y²=mx（m＞0，m為常數）的焦點是F（1，0），
∴m=4，∴拋物線方程是y²=4x
∵P（x₀，y₀）是拋物線上的動點，定點A（2，0）．
∴y02=4x0，kAP=

y0

x0-2

∴線段AP的垂直平分線方程為y-

y0

2

=-

x0-2

y0

(x-

x0+2

2

)
令y=0，可得x1=4+

4

x0-2

+

x0-2

2

∵x₀＞2，∴x₀-2＞0，
∴x1≥4+2

4 x0-2 × x0-2 2

 =4+2

2

（當且僅當x0=2+2

2

時取等號）
∴x₁的取值范圍是[4+2

2

，+∞）；
（2）假設存在所求直線l為x=n，AP的中點M（圓心）到l的距離d=|1+

x0

2

-n|
半徑為r=

1

2

x02+4

弦長為d02=4(r2-d2)=4x0(n-1)+8n-4n2
若弦長為定值，則n-1=0
∴n=1
此時d＜r，圓M恒與直線x=1相交，且截得弦長恒為2．

點評：本題考查拋物線的標準方程，考查基本不等式的運用，考查存在性問題的探究，解題的關鍵是利用垂徑定理表達出弦長．