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對任意正數x，y，不等式
x
3x+y
+
3y
x+3y
≤k恒成立，則實數k的取值范圍是（　　）
分析：令m=3x+y，n=x+3y，
x
3x+y
+
3y
x+3y
可化為
3
8
+
9
8
-
1
8
（
n
m
+
3m
n
）利用基本不等式求出其最大值，可得實數k的取值范圍
解答：解：令m=3x+y，n=x+3y
則x=
3m-n
8
，y=
3n-m
8

則
x
3x+y
+
3y
x+3y
=
3m-n
8
m
+
9n-3m
8
n
=
3
8
+
9
8
-
1
8
（
n
m
+
3m
n
）≤
6-
3
4

若
x
3x+y
+
3y
x+3y
≤k恒成立
則k≥
6-
3
4

即實數k的取值范圍是[
6-
3
4
，+∞)
故選B
點評：本題考查的知識點函數恒成立問題，基本不等式，其中利用基本不等式求出
x
3x+y
+
3y
x+3y
的最大值是解答的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

若實數x、y、m滿足|x-m|＜|y-m|，則稱x比y接近m．
（1）若x2-1比3接近0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數a、b，證明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
；
（3）已知函數f（x）的定義域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那個值．寫出函數f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調性（結論不要求證明）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

下列命題不是全稱命題的是（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：單選題

下列命題不是全稱命題的是


  1. A.
    所有自然數的平方是正數
  2. B.
    若一個四邊形是正方形，則它的四條邊相等
  3. C.
    對任意實數x，存在實數y，使x+y＞0
  4. D.
    有些質數是奇數

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

下列命題不是全稱命題的是（　　）
A．所有自然數的平方是正數
B．若一個四邊形是正方形，則它的四條邊相等
C．對任意實數x，存在實數y，使x+y＞0
D．有些質數是奇數

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年黑龍江省牡丹江一中高一（上）摸底數學試卷 （解析版） 題型：選擇題

下列命題不是全稱命題的是（ ）
A．所有自然數的平方是正數
B．若一個四邊形是正方形，則它的四條邊相等
C．對任意實數x，存在實數y，使x+y＞0
D．有些質數是奇數

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