Question

 

設函數定義在上，，導函數，．

（1）求的單調區間和最小值；

（2）討論與的大小關系；

（3）是否存在，使得對任意成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

 【分析】（1）先求出原函數，再求得，然后利用導數判斷函數的單調性（單調區間），并求出最小值；（2）作差法比較，構造一個新的函數，利用導數判斷函數的單調性，并由單調性判斷函數的正負；（3）存在性問題通常采用假設存在，然后進行求解；注意利用前兩問的結論．

【解】（1）∵，∴（為常數），又∵，所以，即，

∴；，

∴，令，即，解得，

當時，，是減函數，故區間在是函數的減區間；

當時，，是增函數，故區間在是函數的增區間；

所以是的唯一極值點，且為極小值點，從而是最小值點，

所以的最小值是．

（2），設，

則，

當時，，即，

當時，，，

因此函數在內單調遞減，

當時，=0，∴；

當時，=0，∴．

（3）滿足條件的不存在．證明如下：

證法一  假設存在，使對任意成立，

即對任意有              ①

但對上述的，取時，有，這與①左邊的不等式矛盾，

因此不存在，使對任意成立．

證法二  假設存在，使對任意成立，

由（1）知，的最小值是，

又，而時，的值域為，

∴當時，的值域為，

從而可以取一個值，使，即,

∴，這與假設矛盾．

∴不存在，使對任意成立．