Question

已知f（x）是定義域為R的奇函數，當a∈R時f（a）+f（a-2）=f（0）恒成立，則下列結論：
（1）f（x+2）=f（-x）；
（2）f（-6）=0；
（3）f（x）的圖象關于直線x=0對稱；
（4）f（2-2x）是周期為2的周期函數．
其中正確結論的序號是

（1）（2）（4）

．

Answer 1

分析：由f（x）是定義域為R的奇函數，當a∈R時f（a）+f（a-2）=f（0）恒成立，可求得f（a-4）=f（a），利用周期函數的性質可對（1）（2）（3）（4）作出判斷．

解答：解：∵f（x）是定義域為R的奇函數，
∴f（0）=0，
又f（a）+f（a-2）=f（0）=0，
∴f（a-2）=-f（a），
∴f（x-2）=-f（x）①
∴f[（x-2）-2]=-f（x-2）=f（x），
∴f（x）是以4為周期的周期函數．
∴f（x-2）=f（x+2），②
由①②得
∴得f（x+2）=-f（x）=f（-x），故（1）正確；
對于（2），∵f（a）+f（a-2）=f（0）=0，
∴f（2）+f（2-2）=f（0）=0，
∴f（2）=0，而f（x）是以4為周期的奇函數，
∴f（-6）=-f（6）=f（4+2）=f（2）=0，故（2）正確；
∵f（x）是定義域為R的奇函數，不是偶函數，
∴f（x）的圖象關于直線x=0對稱是錯誤的，即（3）錯誤；
對于（4），f（x）是以4為周期的奇函數，
∴f[2-2（x-2）]=f[（2-2x）+4]=f（2-2x），即f（2-2x）是周期為2的周期函數，正確．
綜上所述，正確結論的序號是（1）（2）（4）．
故答案為：（1）（2）（4）．

點評：本體考查函數的周期性，由題意得到f（a-4）=f（a），即f（x）是周期為4的周期函數是關鍵，屬于中檔題．