Question

如圖，海中小島A周圍38海里內有暗礁，船正向南航行，在B處測得小島A在船的南偏東30°，航行30海里后，在C處測得小島A在船的南偏東45°，如果此船不改變航向，繼續向南航行，有無觸礁的危險？

Answer 1

分析：在△ABC中，BC=30，B=30°，∠ACB=180°-45°=135°，A=45°，利用正弦定理知：

30

sin15°

=

AC

sin30°

，由此求出A到BC所在直線的距離之后進行判斷即可．

解答：解：在△ABC中，BC=30，B=30°，
∠ACB=180°-45°=135°，
∴A=15°，
由正弦定理知：

BC

sinA

=

AC

sinB

，
∴

30

sin15°

=

AC

sin30°

，
∴AC=

30sin30°

sin15°

=60cos15°=15

6

+15

2

，…（6分）
∴A到BC所在直線的距離為AC•sin45°=(15

6

+15

2

)•

2

2

=15(

3

+1)≈40.98＞38（海里），
∴不改變航向，繼續向南航行，無觸礁的危險．…（12分）

點評：本題考查解三角形問題在生產實際中的運用，綜合性強，是高考的重點，易錯點是知識體系不牢固．解題時要認真審題，注意正弦定理和數形結合思想在解題中的合理運用．