Question

已知函數y=sinx+cosx，給出以下四個命題，其中為真命題的是（　　）

• A．若x∈[0，

  π

  2

  ]，則函數y是減函數
• B．函數y在區間[

  π

  4

  ，

  5π

  4

  ]上是增函數
• C．直線x=

  π

  4

  是函數圖象的一條對稱軸
• D．函數的圖象可由y=

  2

  sin x的圖象向右平移

  π

  4

  個單位長度得到

Answer 1

分析：先根據兩角和與差將函數化簡為y=

2

sin（x+

π

4

），然后分別求解①②③④，判斷它們的正誤，即可得到選項．

解答：解：∵y=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）
由三角函數的性質可得：函數y=

2

sin（x+

π

4

），的單調減區間為[2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

]，所以在區間[

π

4

，

5π

4

]上是減函數，故AB錯誤；
函數圖象的對稱軸為x=

π

4

+kπ，k∈Z，當k=0時，x=

π

4

，故C正確；
函數y=

2

sin x的圖象向右平移

π

4

個單位長度得到y=

2

sin（x-

π

4

），故D錯誤．
故選：C．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握函數y=Asin（ωx+φ）的性質與函數圖象的平移變換，正弦函數的單調性，正弦函數的對稱性，考查學生的分析問題解決問題的能力，是基礎題．