Question

已知定義在R上的函數f（x）滿足為常數
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）如果f（x）為偶函數，求a的值；
（3）當f（x）為偶函數時，若方程f（x）=m有兩個實數根x₁，x₂；其中x₁＜0，0＜x₂＜1；求實數m的范圍．

Answer 1

解：（1）∵為常數
令t= 則x=
∴f（t）==2^-t+a•2^t
從而有f（x）=2^-x+a•2^x；

（2）∵f（x）為偶函數，
∴f（-x）=f（x）
∴2^x+a•2^-x=2^-x+a•2^x
整理可得，（a-1）•2^x=（a-1）•2^-x
∴a=1

（3）由（2）可得f（x）為偶函數，a=1，f（x）=2^x+2^-x
令n=2^x，n＞0，f（n）=n+，n＞0的圖象如圖，
結合圖象可得方程f（x）=m有兩個實數根x₁，x₂，
其中x₁＜0，0＜x₂＜1?f（n）=m有兩個實數根n₁，n₂其中0＜n₁＜1，1＜n₂＜2
而函數f（n）=n+在（0，1）上單調遞減，在（1，2）單調遞增
結合圖象可得，函數有兩個交點
分析：（1）利用換元法令t= 則x=代入可求f（t），以“x“代換“x“可求．
（2）由f（x）為偶函數利用定義f（-x）=f（x）代入整理可求．
（3）由（2）可得f（x）為偶函數可得a=1，代入可得f（x）=2^x+2^-x，結合函數f（n）=n+，n＞0的圖象，可得方程f（x）=m有兩個實數根x₁，x₂，其中x₁＜0，0＜x₂＜1?f（n）=m有兩個實數根n₁，n₂其中0＜n₁＜1，1＜n₂＜2，結合函數的圖象可得
點評：（1）考查了換元法求函數的解析式，而利用換元法求解時要注意新元的范圍，即所求函數的定義域
（2）考查了偶函數的定義的應用
（3）考查了函數與方程相互轉化的思想，考查了函數y=x+的性質的應用，體現了數形結合思想的應用．