Question

設函數.

（Ⅰ）試問函數f(x)能否在x= －1時取得極值？說明理由；

（Ⅱ）若a= －1，當x∈［-3,4］時，函數f(x)與g(x)的圖像有兩個公共點，求c的取值范圍.

Answer 1

解：（1） 由題意f′(x)=x²-2ax-a，

假設在x=-1時f(x)取得極值，則有f′(-1)=1+2a-a=0,∴a=-1，………… 4分

而此時,f′(x)=x²+2x+1=(x+1)2≥0，函數f(x)在R上為增函數，無極值.

這與f(x)在x=-1有極值矛盾，所以f(x)在x=-1處無極值.…………………… 6分

（2） 設f(x)=g(x)，則有x³-x²-3x-c=0，∴c=x³-x²-3x,

設F(x)= x³-x²-3x,G(x)=c，令F′(x)=x²-2x-3=0,解得x₁=-1或x=3.

列表如下：

x	-3	(-3,-1)	-1	(-1,3)	3	(3,4)	4
F′(x)		+	0	-	0	+
F(x)	-9	增		減	-9	增	-

由此可知:F(x)在(-3,-1)、(3,4)上是增函數，在(-1,3)上是減函數.……………10分

當x=-1時，F(x)取得極大值；當x=3時，F(x)取得極小值

F(-3)=F(3)=-9，而.

如果函數f(x)與g(x)的圖像有兩個公共點，則函數F(x)與G(x)有兩個公共點，

所以或c=-9.………………………………………………15分