Question

【題目】已知函數， （），且曲線在點處的切線方程為．

（1）求實數的值及函數的最大值；

（2）當時，記函數的最小值為，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），最大值．（2）

【解析】試題分析：（1）題設給出了在處的切線，也是，從中解出即可．（2）中要求的最小值，因此要考慮的單調性，也就是考慮的符號的變化，但的零點不易求得，所以利用（1）的結論先確定在給定的范圍上有唯一的零點，通過零點滿足的關系式化簡在零點處的函數值表達式（也是的最小值），最終求出最小值得范圍．

解析：（1）函數的定義域為， ，因的圖象在點處的切線方程為，所以也即是，解得，所以，故．

令，得，

當時， ， 單調遞增；

當時， ， 單調遞減．

所以當時， 取得最大值．

（2）∵，∴，令，由（1）知道在是增函數，故在上為增函數，又， ，因此存在唯一的，使得，也就是即．

當時， ，所以， 單調遞減；當時， ， 單調遞增，所以的最小值為．令，因為，所以在單調遞減，從而，即的取值范圍是．