Question

已知中心在原點的橢圓的一個焦點為（0，），且過點，過A作傾斜角互補的兩條直線，它們與橢圓的另一個交點分別為點B和點C．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）求證：直線BC的斜率為定值，并求這個定值．
（3）求三角形ABC的面積最大值．

Answer 1

解：（1）由題意可知c=，由橢圓的定義求出a=2，所以b=，所以橢圓的方程為：
（2）由題意得設AB的斜率為k，則AC的斜率為-k
所以代入得，
又∵x₁=1∴
同理，為定值
（3）設BC方程為
得
得A到BC的距離為
所以
當m²=8-m²時，即m²=4時“=”成立，此時△＞0成立．
分析：（1）由題意得c=，再由由橢圓的定義求出a=2，b=，從而得到橢圓的方程．
（2）設AB的斜率為k，則AC的斜率為-k，寫出AB的方程與橢圓聯立求出B，C坐標得到SC的斜率化簡即可
證明直線BC的斜率為定值．
（3）利用弦長公式求出BC 的長，利用得到直線的距離公式求出A到BC的距離，即可求三角形ABC的面積最大值．
點評：本題是中檔題，考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關系，三角形面積求法，最大值的求法，考查計算能力，轉化思想．